За да намерим острия ъгъл на ромба, трябва да разгледаме диагоналите и ъглите, които те образуват със страните на ромба. Нека разгледаме ромб \(ABCD\), с диагонали \(AC\) и \(BD\), които се пресичат в точка \(O\). Знаем, че диагоналите на ромба се разполовяват и са перпендикулярни един на друг, т.е. \( \angle AOB = 90^\circ \). Нека обозначим ъглите между диагоналите и страните като \( \alpha \) и \( \beta \), като знаем, че се отнасят както 4:5. Следователно можем да напишем: \[ \alpha = 4x \quad \text{и} \quad \beta = 5x \] Като знаем, че диагоналите на ромба са перпендикулярни, можем да използваме факта, че сумата на два допълващи ъгъла (които допълват до 90 градуса) е равна на \(90^\circ\): \[ \alpha + \beta = 90^\circ \] Замествайки стойностите на \( \alpha \) и \( \beta \): \[ 4x + 5x = 90^\circ \] Това дава: \[ 9x = 90^\circ \implies x = 10^\circ \] Следователно: \[ \alpha = 4x = 4 \cdot 10^\circ = 40^\circ \] \[ \beta = 5x = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ \] Сега, за да намерим острия ъгъл на ромба, трябва да вземем предвид, че всяка от страните на ромба \(ABCD\) образува два ъгъла с диагоналите. Острият ъгъл на ромба ще бъде два пъти един от тези ъгли, защото диагоналите се разполовяват и образуват два равни ъгъла с всяка страна. Следователно острият ъгъл на ромба \( \theta \) ще бъде: \[ 2 \cdot \alpha = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ \] Следователно, острият ъгъл на ромба е \(80^\circ\).

Асиметрията е важна концепция в статистиката, която описва степента на изкривяване или отклонение от симетрията в разпределението на данните. Когато анализираме данни, обикновено очакваме те да следват определена форма, като нормалното разпределение, което е симетрично около средната стойност. Асиметрията ни помага да разберем колко далеч нашите данни се отклоняват от тази форма. ### Видове асиметрия 1. **Положителна асиметрия (дясна асиметрия)**: Когато опашката на разпределението е по-дълга от дясната страна на средната стойност. В този случай, по-голямата част от данните се намират в лявата част на разпределението. Пример за това е разпределението на доходите, при което повечето хора печелят под средната стойност, но има някои, които печелят значително повече. 2. **Отрицателна асиметрия (лява асиметрия)**: Когато опашката на разпределението е по-дълга от лявата страна на средната стойност. Тук по-голямата част от данните се намират в дясната част на разпределението. Пример за това може да бъде възрастта на пенсиониране, където повечето хора се пенсионират около определена възраст, но някои се пенсионират значително по-рано. ### Изчисляване на асиметрия Асиметрията може да се измери с помощта на коефициента на асиметрия (skewness). Формулата за изчисляване на коефициента на асиметрия е: \[ Sk = \frac{E[(X - \mu)^3]}{\sigma^3} \] където: - \( E \) е математическото очакване, - \( X \) е случайната променлива, - \( \mu \) е средната стойност (очакваната стойност) на разпределението, - \( \sigma \) е стандартното отклонение. ### Интерпретация на коефициента на асиметрия - **Sk = 0**: Разпределението е симетрично. - **Sk > 0**: Разпределението е с положителна асиметрия (дясна асиметрия). - **Sk < 0**: Разпределението е с отрицателна асиметрия (лява асиметрия). ### Пример Да разгледаме пример за изчисляване на коефициента на асиметрия. Нека имаме следните данни: 2, 3, 5, 7, 9. 1. Изчисляваме средната стойност (\( \mu \)): \[ \mu = \frac{2 + 3 + 5 + 7 + 9}{5} = \frac{26}{5} = 5.2 \] 2. Изчисляваме стандартното отклонение (\( \sigma \)): \[ \sigma = \sqrt{\frac{(2-5.2)^2 + (3-5.2)^2 + (5-5.2)^2 + (7-5.2)^2 + (9-5.2)^2}{5}} = \sqrt{\frac{10.24 + 4.84 + 0.04 + 3.24 + 14.44}{5}} = \sqrt{6.56} \approx 2.56 \] 3. Изчисляваме коефициента на асиметрия (\( Sk \)): \[ Sk = \frac{(2-5.2)^3 + (3-5.2)^3 + (5-5.2)^3 + (7-5.2)^3 + (9-5.2)^3}{5 \cdot (2.56)^3} = \frac{-32.768 - 10.648 + 0.008 + 6.848 + 58.048}{83.886} \approx 0.27 \] От този резултат виждаме, че разпределението има положителна асиметрия. Асиметрията е мощен инструмент в статистиката, който ни помага да разберем повече за разпределението на данните и да правим по-информирани изводи. Ако имате допълнителни въпроси или нужда от помощ с други математически концепции, не се колебайте да попитате!

За да намерим вместимостта на цилиндричната тава, трябва първо да изчислим нейния обем. Понеже обаче трябва да оставим 1 см до горния ръб, височината, която ще използваме в нашите изчисления, ще бъде с 1 см по-малка от дадената (7 см). Следователно, височината, която ще използваме за изчисленията, е 7 см - 1 см = 6 см. Формулата за обема V на цилиндър се дава като: \[ V = \pi r^2 h \] където \( r \) е радиусът на основата на цилиндъра, а \( h \) е височината на цилиндъра. Дадено е, че диаметърът на тавата е 40 см. Радиусът \( r \) е половината от диаметъра, т.е.: \[ r = \frac{40 \text{ см}}{2} = 20 \text{ см} \] Сега можем да заместим стойностите във формулата за обем: \[ V = \pi (20 \text{ см})^2 (6 \text{ см}) \] \[ V = \pi \cdot 400 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} \] \[ V = 2400\pi \text{ см}^3 \] За да получим числената стойност на обема, приемаме, че \( \pi \approx 3.14159 \): \[ V \approx 2400 \cdot 3.14159 \text{ см}^3 \] \[ V \approx 7540.216 \text{ см}^3 \] Така вместимостта на тавата, като оставим 1 см свободно пространство до горния ръб, е приблизително 7540 кубически сантиметра.

Обемът V на кълбо се изчислява по формулата V = 4/3 * π * r³, където r е радиусът на кълбото. А) Ако радиусът на кълбото се намали 3 пъти, новият радиус ще бъде r/3. Заместваме новия радиус във формулата за обем: V' = 4/3 * π * (r/3)³ = 4/3 * π * r³/27 = V/27 Това означава, че обемът на кълбото ще се намали 27 пъти. Б) Ако радиусът на кълбото се увеличи 2 пъти, новият радиус ще бъде 2r. Заместваме новия радиус във формулата за обем: V' = 4/3 * π * (2r)³ = 4/3 * π * 8r³ = 8V Това означава, че обемът на кълбото ще се увеличи 8 пъти. В заключение, промяната на радиуса на кълбо води до пропорционална промяна на неговия обем, която е кубична функция на промяната на радиуса. Това означава, че ако радиусът се промени с фактор k, обемът ще се промени с фактор k³.

Вероятността е свързана с площта на двата кръга. В нашия случай имаме кръг с радиус 1 и кръг с радиус 2, центровете на които съвпадат. Искаме да намерим вероятността случайно избрана точка от големия кръг да попадне в малкия кръг. Стъпка 1: Намиране на площта на двата кръга Формулата за площта на кръга е πr², където r е радиусът на кръга. Площта на малкия кръг е π(1)² = π. Площта на големия кръг е π(2)² = 4π. Стъпка 2: Намиране на вероятността Вероятността е равна на площта на малкия кръг, делено на площта на големия кръг. P = (площ на малкия кръг) / (площ на големия кръг) P = π / 4π = 1/4 = 0.25 или 25%. Така че вероятността случайно избрана точка от големия кръг да попадне в малкия кръг е 25%.

ца са нерезилиентни. · От 47-те души с външна локализация на контрола, 30 са резилиентни, а 17 са нерезилиентни. · От 53-те души с вътрешна локализация на контрола, 25 са резилиентни, а 28 са нерезилиентни. Това е въпрос за проверка на връзка между две категорийни променливи, което обикновено се прави чрез chi-квадрат тест. В случая, обаче, тъй като въпросът не изисква конкретна статистическа проверка, можем да направим прост анализ на получените данни. Нека първо да създадем таблица на срещанията (вижте долу), в която сравняваме локализацията на контрола (вътрешна или външна) и резилиентността (резилиентен или нерезилиентен). | Резилиентен | Нерезилиентен Вътрешен | 25 | 28 Външен | 30 | 17 От тази таблица можем да видим, че: - От 47-те хора с външна локализация на контрола, повечето (30) са резилиентни. - От 53-те хора с вътрешна локализация на контрола, разпределението е по-равномерно, като леко преобладават нерезилиентните (28 спрямо 25). Това ни навежда на мисълта, че може би има някаква връзка между външната локализация на контрола и резилиентността. Въпреки това, не можем да направим категоричен извод само на база на тези данни. За да бъдем сигурни в нашите наблюдения, трябва да извършим статистически тест, като например chi-квадрат тест за независимост, който ще ни даде точна вероятност за връзката между двете променливи.

За да решим тази задача, трябва да знаем някои основни свойства на правилната триъгълна пирамида. Правилната триъгълна пирамида е такава пирамида, чиято основа е равностранен триъгълник и върхът е еднакво отдалечен от всички върхове на основата. Ако периметърът на основата е 42см, това означава, че всеки от ръбовете на основата е дълъг 42см / 3 = 14см. Ако периметърът на една околна стена е 46см, това означава, че сумата от дължините на един от ръбовете на основата и двете височини на пирамидата (които са еднакви по дефиниция) е 46см. Тъй като вече знаем, че дължината на ръба на основата е 14см, можем да намерим дължината на височината на пирамидата като отнемем 14см от 46см и разделим на две. Това дава (46см - 14см) / 2 = 16см за височината на пирамидата. Сега, за да намерим сбора от всички ръбове на пирамидата, трябва да ги съберем. Има три ръба на основата, всеки с дължина 14см, и три височини, всеки с дължина 16см. Това дава обща сума от 3*14см + 3*16см = 42см + 48см = 90см. Така че сборът от всички ръбове на пирамидата е 90см.

За да открием дължината на основния ръб на правилната осмоъгълна призма, трябва да знаем, че обемът (V) на призмата се изчислява по формулата: V = S * h, където S е лицето на основата на призмата, а h е височината й. В случая ни е дадено, че обемът на призмата е 1,014 куб.дм, което е равно на 1014 куб.см, и че височината й е 5 см. Затова можем да намерим лицето на основата като разделим обема на височината: S = V / h = 1014 куб.см / 5 см = 202,8 кв.см. Знаем, че основата на правилната осмоъгълна призма е правилен осмоъгълен, чието лице се изчислява по формулата: S = a * p / 2, където a е апотемата на осмоъгълника, а p е периметърът му. От тук можем да изразим периметъра на основата: p = 2 * S / a = 2 * 202,8 кв.см / 7,8 см = 52,051 см. Тъй като основата на призмата е правилен осмоъгълен, това означава, че всичките му страни (основни ръбове на призмата) са равни. Затова дължината на основния ръб ще е равна на дължината на една страна на осмоъгълника, което е равно на периметъра на осмоъгълника, разделен на броя на страните му: d = p / 8 = 52,051 см / 8 = 6,506 см. Така че дължината на основния ръб на призмата е приблизително 6,506 см.

Нека да обозначим двете последователни нечетни числа като n и n+2 (понеже следващото нечетно число след n е n+2). Според условието на задачата, разликата от квадратите на тези числа е 24, т.е.: (n+2)² - n² = 24 Развиваме израза от ляво на дясно: n² + 4n + 4 - n² = 24 Тъй като n² отпада от двете страни на равенството, получаваме: 4n + 4 = 24 Опростяваме уравнението, като изваждаме 4 от двете страни: 4n = 24 - 4 4n = 20 След това делим двете страни на уравнението на 4, за да намерим n: n = 20 / 4 n = 5 Сега, когато знаем, че n е 5, можем да намерим следващото нечетно число, като прибавим 2 към n: n+2 = 5+2 = 7 Следователно, двете последователни нечетни числа, които отговарят на условието на задачата, са 5 и 7.

За да решим тази задача, първо трябва да разбием проблема на няколко части - време за пътуване, време за престой и разстояние, което трябва да бъде преодоляно. 1. Разстоянието, което влакът трябва да преодолее, е двукратно разстоянието между София и Кюстендил, тъй като влакът тръгва от София, достига до Кюстендил и се връща обратно в София. Така че общото разстояние е 90 км * 2 = 180 км. 2. Времето, което влакът е прекарал в движение, може да бъде намерено като извадим времето за престой от общото време за пътуване. Общото време за пътуване е 3 часа и 40 минути, което е еквивалентно на 220 минути. Престоят в Кюстендил е 20 минути. Така че времето, което влакът е прекарал в движение, е 220 минути - 20 минути = 200 минути. 3. Сега, когато имаме общото разстояние и общото време за пътуване, можем да намерим скоростта на влака, като разделим общото разстояние на общото време. Обаче трябва да бъдем внимателни с мерните единици - обикновено скоростта се измерва в км/ч, а времето, което изчислихме, е в минути. За да превърнем минутите в часове, трябва да ги разделим на 60 (тъй като в един час има 60 минути). Така че имаме 200 минути / 60 = 3.33 часа. 4. Сега можем да намерим скоростта на влака, като разделим общото разстояние на общото време: 180 км / 3.33 часа = 54.05 км/ч. Така че скоростта на влака е приблизително 54.05 км/ч.